机械臂的D-H建模

[公式] 模型是关节型机器人运动学建模最为普遍方法。对于任意结构的机器人模型都可以采用此种建模方式为机器人建立起正向运动学模型。如下图是其对于局部连杆的各关节轴之间连杆坐标系的建立方法的连杆位姿关系示意图。

进行 D-H 建模第一步便是定义其连杆坐标系。坐标系建立方法如下:

(1) 找到([公式])号和([公式])号关节两轴线公垂线,它与([公式])号关节轴线交点就

是([公式])号连杆参考坐标系原点。

( 2 )([公式])号关节轴线就是([公式])号连杆坐标系 Z 轴。

( 3 )([公式])号与([公式])号两关节轴线公垂线作为([公式])号 X 轴,它指向( [公式] )号关

节。

( 4 )由于( [公式] )号关节的 [公式] 轴都已确定,因此依据右手法则就可以确定 [公式] 轴。

通过以上方式就可以建立起( [公式] )号连杆的坐标系,其它各连杆建立方法类似。

如上图所示,在建立了各杆件坐标系之后,对应的 [公式] 参数 [公式] 的获取方式如下:

[公式] [公式][公式]轴之间沿着[公式] 方向的距离位移。

[公式] [公式] 轴和 [公式] 轴沿着 [公式] 轴之间的夹角。

[公式]  [公式]  [公式] 轴之间沿着 [公式] 方向的距离位移。

[公式]  [公式] 轴和 [公式] 轴沿着 [公式] 轴之间的夹角。

上述的 4 个参数,分别是连杆 [公式] 的连杆长度([公式])、连杆扭角([公式])、连杆 [公式] 和连杆 [公式] 间的距离([公式])以及连杆 [公式] 和连杆 [公式] 间的扭角([公式]),通常称这四个参数为 [公式] 参数。

D-H建模最原始的建模方式是以连杆的后方关节建立连杆坐标系,这种建模方式我们称为Normal DH建模,后来大家使用的过程中,发现它对于连杆坐标系的理解上不太友好,然后提出了modify DH建模方法,该建模方法还是基于原始的DH建模规则,只不过将连杆的坐标系建立在连杆的前方关节上,这样你只要学会了齐次坐标变换,你就能很好的理解各个连杆之间的变换关系,这里我们采用Modify DH建模方法建立机械臂的连杆坐标系。如下图所示是以UR构型的机械臂为例所建立的机械臂D-H坐标系。

从而,根据上面讲到的[公式]参数获取规则,就可以获得各个连杆的[公式] 参数[公式] 。如下表所示是UR机械臂的DH参数表。

机械臂正运动学

前面我们已经建立起了机械臂的DH参数表,现在我们需要根据DH参数表建立起机械臂的正运动学模型,已知任意两个连杆之间的变换矩阵为:

则机械臂末端的位姿矩阵可以描述为:

从而完成了UR构型的机械臂的正运动学模型的建立。

机械臂逆运动学

根据正运动学公式

可以得到:

式中,

则机械臂末端目标位姿为:

则有:

由于DH参数表中[公式]代表的是末端坐标系的Z向偏移,为常数变换,可以令[公式]

因此,矩阵等式(2)两边的 [公式] 对应相等得到:

因此,

矩阵等式(2)两边 的 [公式]对应相等得到:

由等式(5),(6)得:

由等式(7),(8)得:

由等式(5),(6)可以发现:

矩阵等式(2)两边的 [公式]  [公式] 左右对应相等得到:

从而可以得到:

矩阵等式(2)两边的 [公式]  [公式] 左右对应相等得到:

消去 [公式] ,化简得到:

其中,

从而可以得到:

 [公式] 代入等式(13),(14),可以得到:

进而可以得出:

最终可以得到:

机械臂奇异位型分析

对于UR 构型的机械臂而言,它有三种奇异位型,通常是以奇异位型处的奇异点作为机

械臂关节状态临界点,又可以将机械臂分为2 种关节状态属性,这样三种奇异位型就可以产

生出机械臂的8 种关节状态属性,也就是8 种运动学逆解。

UR 构型机械臂的3 种奇异位型按照奇异点的位置,可以将其分别表示为肩奇异、肘奇

异以及腕奇异,以下是对各奇异位型的描述:

肩奇异

 [公式] 时,会导致肩部奇异,此时机械臂末端连杆坐标系的原点 [公式] 位于关节1轴线 [公式]和关节2轴线[公式]所构成的平面内,[公式] 无法求解,当机器人运动到此处时,可导致控制过程中机械臂关节1 的角度突变。

肘奇异

 [公式] 时,会导致肘部奇异,此时关节轴线 [公式] 共面,[公式]无法求解,当机器人运动到此处时,可导致控制过程中机械臂关节2 的角度发生突变。

腕奇异

 [公式] ,即 [公式] 时,会导致机械臂的腕部奇异,此时轴线 [公式] [公式] 平行, [公式] 无法求解,当机器人运动到此处附件时,可导致控制过程中机械臂关节6 的角度突变。