Summary

根轨迹，顾名思义，是方程的根随参数变化形成的轨迹。这里的方程是控制系统的特征方程，特征方程的根也即闭环传递函数的极点；参数可以是控制参数，如增益k，也可以是系统的某个参数。

根轨迹和“劳斯判据（link）”类似，通过判断特征方程根（传递函数极点）的正负，来判断稳定性。并且，由于精确表示出了根，通过根轨迹能直观看出参数变化对系统闭环极点分布的影响，从而辅助控制器设计。

增益根轨迹

课本上常见的根轨迹具体来说是增益根轨迹，因为绘制出的曲线是根随着控制器增益k变化形成的轨迹。借助Matlab的 “rlocus”语句，可以方便地画出增益根轨迹

需要指出，matalb绘制的是增益根轨迹，默认输入sys（s）是系统的开环传递函数G(s)H(s)。对于下图所示的负反馈系统，写出闭环传函，令分母等于0，就能得到特征方程的根，即图一中的第二个等式。

一个例子：

基于以上分析，如果想绘制增益以外其它参数的根轨迹，需要进行一定的变换，不能直接套用上面的代码。使用“rlocus”语句，需要将想观测变化的参数看成增益，剩余部分等效转化成 上图的sys（s）。最终转换是否正确，就看原有系统的特征方程等否写成图二的第二个等式。更详细内容可参考matlab官方文档：

Root locus plot of dynamic system​www.mathworks.com/help/control/ref/tf.rlocus.html

一些细节问题

1.为什么课本介绍根轨迹会涉及开环传递函数，以及绍幅值条件和相角条件？

根轨迹最终的落脚点是闭环传递函数的极点，对于负反馈系统，闭环传递函数的极点可以借助开环传递函数的零点确定（参见图二中红色虚线圈出部分和图一的第二个等式），一个虚数方程对应两个实数方程，演变成幅值条件和相角条件。这样，就能避免反复求解闭环传函，加快曲线绘制速度。

2. 怎样手绘根轨迹？

手绘根轨迹需要依据值条件、相角条件，以及基于它们推导的准则来绘制，实际中已很少使用。推荐一个讲根轨迹细节很赞的知乎文章，本文很多没有涉及的细节可以在里面找到。

华东子：第九讲 根轨迹法179 赞同 · 16 评论文章

目录：

开篇 ： 学习自动控制原理(自控)的另一种视角
（一）为什么要控制
（二）开环控制和闭环控制
（三）看世界的视角1：时域
（四）看世界的视角2：频域
（五）线性时不变系统
（六）为什么自控中需要卷积和拉普拉斯变换
（七）传递函数
（八）控制理论的基石：反馈
（九）自控数学篇：傅利叶变换
（十）自控数学篇：偏微分方程
（十一）感性认识稳定性
（十二）判断稳定性
（十三）判断稳定性：劳斯判据
（十四）判断稳定性：根轨迹