S加减速–7段

接前文5段S形速度规划，这里推导一下7段S形曲线的计算公式

1. S加减速曲线

定义：
上图中，令t1-t7为各个位置的绝对时间节点，T1-T7为每一段的增量时间节点。
这里的定义和图中有些出入，线下面的计算全部按照此定义为准.

计算公式：
加加速度

j ( t ) = { J 0 ≤ t ≤ t 1 0 t 1 ≤ t ≤ t 2 − J t 2 ≤ t ≤ t 3 0 t 3 ≤ t ≤ t 4 J t 4 ≤ t ≤ t 5 0 t 5 ≤ t ≤ t 6 − J t 6 ≤ t ≤ t 7 j(t)=

$$j(t)=\{\begin{array}{ll}J& 0\le t\le t_1\\ 0& t_1\le t\le t_2\\ -J& t_2\le t\le t_3\\ 0& t_3\le t\le t_4\\ J& t_4\le t\le t_5\\ 0& t_5\le t\le t_6\\ -J& t_6\le t\le t_7\end{array}$$

加速度：

a ( t ) = { J ∗ t 0 ≤ t ≤ t 1 J ∗ T 1 t 1 ≤ t ≤ t 2 J ∗ T 1 − J ∗ ( t − t 1 ) t 2 ≤ t ≤ t 3 0 t 3 ≤ t ≤ t 4 − J ∗ ( t − t 4 ) t 4 ≤ t ≤ t 5 − J ∗ T 4 t 5 ≤ t ≤ t 6 − J ∗ T 4 + J ∗ ( t − t 6 ) t 6 ≤ t ≤ t 7 a(t)=

$$a(t)=\{\begin{array}{ll}J\ast t& 0\le t\le t_1\\ J\ast T_1& t_1\le t\le t_2\\ J\ast T_1-J\ast (t-t_1)& t_2\le t\le t_3\\ 0& t_3\le t\le t_4\\ -J\ast (t-t_4)& t_4\le t\le t_5\\ -J\ast T_4& t_5\le t\le t_6\\ -J\ast T_4+J\ast (t-t_6)& t_6\le t\le t_7\end{array}$$

速度：

v ( t ) = { v s + J ∗ t 2 / 2 0 ≤ t ≤ t 1 v 1 + J ∗ T 1 ∗ ( t − t 1 ) t 1 ≤ t ≤ t 2 v 2 + J ∗ T 1 ∗ ( t − t 2 ) − J ∗ ( t − t 2 ) 2 / 2 t 2 ≤ t ≤ t 3 v 3 t 3 ≤ t ≤ t 4 v 4 − J ∗ ( t − t 4 ) 2 / 2 t 4 ≤ t ≤ t 5 v 5 − J ∗ T 5 ∗ ( t − t 5 ) t 5 ≤ t ≤ t 6 v 6 − J ∗ T 5 ∗ ( t − t 6 ) + J ∗ ( t − t 6 ) 2 / 2 t 6 ≤ t ≤ t 7 v(t)=

$$v(t)=\{\begin{array}{ll}{v}_s+J\ast t^2/2& 0\le t\le t_1\\ v_1+J\ast T_1\ast (t-t_1)& t_1\le t\le t_2\\ v_2+J\ast T_1\ast (t-t_2)-J\ast (t-t_2{)}^2/2& t_2\le t\le t_3\\ v_3& t_3\le t\le t_4\\ v_4-J\ast (t-t_4{)}^2/2& t_4\le t\le t_5\\ v_5-J\ast T_5\ast (t-t_5)& t_5\le t\le t_6\\ v_6-J\ast T_5\ast (t-t_6)+J\ast (t-t_6{)}^2/2& t_6\le t\le t_7\end{array}$$

位移：

​
s ( t ) = { v s ∗ t + J ∗ t 3 / 6 0 ≤ t ≤ t 1 s 1 + v 1 ∗ ( t − t 1 ) + J ∗ T 1 ∗ ( t − t 1 ) 2 / 2 t 1 ≤ t ≤ t 2 s 2 + v 2 ∗ ( t − t 2 ) + J ∗ T 1 ∗ ( t − t 2 ) 2 / 2 − J ∗ ( t − t 2 ) 3 / 6 t 2 ≤ t ≤ t 3 s 3 + v 3 ∗ ( t − t 3 ) t 3 ≤ t ≤ t 4 s 4 + v 4 ∗ ( t − t 4 ) − J ∗ ( t − t 4 ) 3 / 6 t 4 ≤ t ≤ t 5 s 5 + v 5 ∗ ( t − t 5 ) − J ∗ T 5 ∗ ( t − t 5 ) 2 / 2 t 5 ≤ t ≤ t 6 s 6 + v 6 ∗ ( t − t 6 ) − J ∗ T 5 ∗ ( t − t 6 ) 2 / 2 + J ∗ ( t − t 6 ) 3 / 6 t 6 ≤ t ≤ t 7 s(t)=

$$s(t)=\{\begin{array}{ll}{v}_s\ast t+J\ast t^3/6& 0\le t\le t_1\\ s_1+v_1\ast (t-t_1)+J\ast T_1\ast (t-t_1{)}^2/2& t_1\le t\le t_2\\ s_2+v_2\ast (t-t_2)+J\ast T_1\ast (t-t_2{)}^2/2-J\ast (t-t_2{)}^3/6& t_2\le t\le t_3\\ s_3+v_3\ast (t-t_3)& t_3\le t\le t_4\\ s_4+v_4\ast (t-t_4)-J\ast (t-t_4{)}^3/6& t_4\le t\le t_5\\ s_5+v_5\ast (t-t_5)-J\ast T_5\ast (t-t_5{)}^2/2& t_5\le t\le t_6\\ s_6+v_6\ast (t-t_6)-J\ast T_5\ast (t-t_6{)}^2/2+J\ast (t-t_6{)}^3/6& t_6\le t\le t_7\end{array}$$