假设有两个小车m1和m2，中间靠一根弹簧连着。如果没有弹簧以及后面的m2的话，我们凭直觉可能会觉得我们可以通过控制u来控制x 1 ,。但是有了弹簧以及m2之后，我们还能通过控制u来控制x 1  吗？也就是通过控制u来控制两辆车的速度和位置，有没有这种可能？

用数学一点的语言来说，就是一个系统的状态方程是x ˙ = A x + B u，是否存在一个u，使得t 0  时的x 0 状态在t 1  时变成x 1  状态。可控性的推导我们用一个离散型的状态来进行推导
xk+1​=Axk​+Buk​

经过n步之后，我们把系统的状态从x 0 变成了x n ，如果我们想要U UU有解的话，则C o CoCo矩阵的秩R a n k ( C o ) = n 对于连续系统，我们可以和离散系统做类似，若想系统可控的话，则C o 矩阵必须是满秩的。

举例
假设一个系统的状态方程如下

这是一个可控的系统。它代表的物理意义就是我们上面所说的只有一个小车的情况，如果我们只对一个小车建模，不包括弹簧和第二个小车，根据牛顿第二定律，u = m x 我们令x 1 = x ,   x 2 = x ,就能得到这个状态方程了。这里还牵扯到一个问题，系统的可控性指的是点到点的可控还是轨迹的可控，我们可以看一个例子，下面这幅图横轴是位置，纵轴是速度，如果我们想让小车从A点到B点，我们是走AB这条路呢还是ACB这条路呢？

事实上，AB这条路是行不通的，我们不能在速度为正的时候位移却一直在往后，所以我们只能走ACB这条路，即速度先逐渐降低，然后反向，最后再把速度加上去。所以，系统的可控性指的是我们可以从一点到达另一点，却不能使系统按照我们想要的轨迹去走。

回到问题

我们用MATLAB来求解一下这个系统的可控性，MATLAB里面有Co = ctrb(A,B)这样一个函数，求一下Co矩阵的秩是4，也就是这个系统是可控的。也就是我们可以从一个小车上施加力，但会控制两个车的速度和位置。最后up主总结系统的可控是指理论上的可控，实际上的系统有各种的物理约束，不一定是可控的！