Summary

上一节“判断稳定性”从传递函数角度判断了系统的稳定性：传递函数极点a+bi的实部a为负，则系统稳定。背后的含义是：扰动的时域响应随着t的增长趋于0（  ），扰动响应趋于0，系统自然稳定。

对于高阶系统，直接求解极点比较费事，因此劳斯（E.J.Routh）在1877年提出了劳斯判据。劳斯判据是一种借助特征方程系数/劳斯表来辅助判断根正负的方法，这里的根即传递函数的极点。所以劳斯判据通过下面这条逻辑链和前面的知识联系上了：

“劳斯判据（特征方程系数/劳斯表）→ 方程根的正负 → 传递函数极点 → 扰动的时域响应 → 稳定性”

劳斯判据的内容

劳斯判据用起来很简单，两步走。

1）根据特征方程列写劳斯表

设特征方程为： 

则劳斯表为：

借助行列式更方便记忆，每元素来自上两行，将第一列元素配上右上方元素，构成行列式，最后除以上一行的第个元素。例如b1:

2）根据劳斯表判断稳定性

• 第一列所有系数为正，则根都在复平面左半平面，系统稳定；
• 第一列有符号变换，变化的次数等于复平面右办平面根的个数，系统不稳定。

使用劳斯判据时会有两个特例：

• Case 1: 某行第一个元素是0，但后面元素不是0。处理方法：用一个很小数代替0，接着往下算。
• Case 2: 某行全是0。处理办法：用上一行的系数构造多项式，对s求导后替代全0行的元素，接着往下算。

拓展

劳斯判据的进阶用法：判断控制器参数的范围。以下图比例控制器为例，我们可以写出含有Kp参数的劳斯表，从而用“第一列元素为正”的判据，解出系统稳定前提下参数Kp的范围。

在Matlab社区，有人写出了构造输出劳斯表的小程序，并能重新配置不稳定系统的极点。感兴趣的同学可进下面传送门。

总结

劳斯判据是一种借助特征方程系数来判断系统稳定性的方法，最终的落脚点还是“传递函数极点在复平面左半平面”，对于高阶系统，使用起来尤为方便。此外，借助劳斯表还能辅助判断控制器参数的范围，是一种活用知识的表现。