1. 硬约束 & 软约束

通常轨迹优化问题通常会有目标函数，然后我们会为决策变量设置一些约束条件，这些约束条件缩小了可行域的范围，约束条件会存在以下几种可能性：

（1）约束合适，简化了目标函数的求解，去掉了鞍点留下来最值点（正常约束）

（2）约束过多，发现不可能满足所有的约束条件，可行域为空集（过约束）

（3）约束不足，发现可行域太大，搜索算法很费时（欠约束）

对于后两种情况，欠约束一般可以增加约束，过约束怎么办呢？

最直接的想法是：我去掉多余的约束不就行啦！ 然后问题来了：去掉哪个？去掉之后不满足可行解怎么办？

针对上面的问题，我们先讨论一下两种约束：

Ø硬约束(hard-constraint)：在任何时候都“必须”满足的约束（比方说：动力学，关节硬限位等）

Ø软约束(soft-constraint)：一种尽可能满足的“希望”（比方说：关节尽量偏离限位，机器人尽量偏离障碍物等）

换言之，硬约束是严格满足的约束，软约束并不是严格满足而是表达一种“优先”和“偏好”

太抽象了，我们先举个例子吧：《矩阵论》求解矩阵的广义逆

从下图可以看出：

（1）有解，我们如何在解中寻找偏好(软约束)

（2）无解，我们如何把硬约束变为软约束

（3）软约束的一种表达——最小二乘，偏好的一种表达——最小范数

求解硬约束和软约束的方法如下所示：

2. 硬约束

• 首先是简化模型，此处盗用高飞老师深蓝学院的一点东西：可以将NLP问题转化为凸优化问题，因为有如下优点：

(1) 局部最优解的全局特性 (2) 存在高效的求解算法

而凸优化问题中又有几个特例：LP和QP

注意：QP问题的二次型系数的对称正定性

既然谈到了凸优化的高效求解算法，那么接着给出求解优化问题的计算机工具：

• 其次是启发式算法与搜索算法

这块太偏数值优化和现代优化了，我当初是看这两本书的，大家可以参考一下，不多介绍

• 接下来是上一节的Lagrange和Hamilton

3. 软约束

• 松弛条件与部分约束

这一块其实水很深，简单总结了一下，具体可以参考文献5

• 其次是罚函数

可以认为硬约束和软约束都是罚函数，只不过思路不一致

硬约束是通过 Lagrange 乘子保证约束严格满足

软约束是通过权重和范数保证约束优先满足(但是，软约束会存在无约束问题的病态性的问题)

软约束的实现手段一般是通过范数来实现的

而罚函数又分为外点罚函数和内点罚函数：

外点罚函数：最优解序列从可行域外部逼近约束最优化问题的最优解

内点罚函数：最优解序列从可行解内部逼近约束最优化问题的最优解，适宜于不等式约束

外点罚函数如上，内点罚函数如下：

到此为止，大家可以考虑一下一些软约束的实现：如关节极限，障碍物势函数等

• 最后，也是最重要的：任务优先级

重要的两句话：

任务优先级原则：低任务优先级的执行不应该干扰高任务优先级的执行

任务优先级算法：任务优先级分层，将低优先级任务的解投影到高优先级任务的零空间

具体的例子如下：

~~~祝大家牛年大吉，新年里工作顺顺利利，工资涨涨涨涨；学业进进步步，paper发发发发！

Reference

1. 高飞. 移动机器人中的运动规划. 深蓝学院. 2019.
2. Bemporad. Model Preditive Control. 2020.
3. 郁磊. MATLAB智能算法30个案例分析(第2版). 北京航空航天大学出版社.
4. 高立. 数值最优化方法. 北京大学出版社.
5. Bartak R. Modelling soft constraints: A survey[J]. Neural Network World, 2002, 12(5): 421-432
6. Flacco F, De Luca A, Khatib O. Control of redundant robots under hard joint constraints: Saturation in the null space[J]. IEEE Transactions on Robotics, 2015, 31(3): 637-654.