在前面章节的基于车辆运动学的模型预测控制中，我们采用的是非线性优化求解最优控制量，求解运算量比较大，其模型误差的建立是在车体的动坐标系下，需要提前将跟踪轨迹转换到车体坐标系下进行误差求解，这种模型很难进行线性化，因此只能采用非线性优化求解最优控制序列。为了更有效的描述轨迹的跟踪误差，同时方便进行误差模型的线性化，我们将控制误差的参考坐标系转换到跟踪轨迹的frenet坐标系中，如下图所示（车辆控制对象依旧是阿克曼构型车辆）：

所上图所示，横向位移误差和航向角误差分别为  ,  。则有：

式中，  是跟踪轨迹的曲率，  为当前车辆后轮轴中心速度，  为车辆转向角，L为后轮中心到前轮中心的距离，  为车辆当前角速度，  为参考线对应的期望角速度，  为车辆横向沿着方向的线速度。

则有：

令：

则有：

和前面章节横纵向混合约束的动力学MPC控制一样，进行双线性变换之后的线性化系数如下：

离散化后的线性模型为：

预测时域内的状态变量方程如下：

则有：

为了满足以最小的控制量达到最小的控制误差，优化目标函数可以表示为如下：

其中Q和R代表优化目标的权重。

k 为误差量权重，r 为控制量权重。

上式可以通过二次规划求解满足最小J的控制量 。至此，MPC的优化目标代价方程构造完毕。同时还可以通过限制控制量 范围来约束转角和油门的范围，可以通过uup和uul量矩阵表示，如下所示：

则有约束条件：

最后可以通过调用osqp算法库获得最优的转向角控制序列uu。